在有界域上，我们考虑一个变范围非局部算子，它是最大各向同性的，因为它的相互作用半径等于到边界的距离。我们建立了Dirichlet问题的\(C^{1，\alpha}\)边界正则性和存在性结果。
设和为类的有界连通定义域。设为到边界的距离，
如果没有混淆，我们就写。为方便地使距离函数平滑，取时，对于一个小的。其他领域也采用类似的符号。
让。写和。我们引入算子
归一化常数是由
(1.1)
这是一个各向同性区域分数阶拉普拉斯式，插入因子是为了保证收敛到一个非平凡极限，即。参见引理A.1。
从概率上讲，操作者产生了一个lsamvy类型的过程，在这个过程中，一个粒子随机地、各向同性地跳跃在可能包含的最大的球中。
我们列出了一些特性和结果。
有一个中程极大值原则命题2.2，其强度介于局部极小值和全局极小值之间，只要在该区域之外的相互作用域中u是非负的，则该区域内不存在绝对极小值。因此，局部壁垒足以控制边界行为。
交互的领域取决于评估的点。因此，在第3节中，即使遵循既定的思路，屏障的构建也需要额外的努力[11]。
是s阶的，但是是二次缩放的，并且满足经典的Hopf引理，参见引理A.4和引理4.6。
不是变分的。要看这个，拿。在分部积分时，人们立即看到“隐藏边界项”在。在更高的维度中，“隐藏边界”可以被认为是在边界上至少有两个投影的点。不幸的是，所有这些点都以不同的方式起作用，结果表达式将无法管理。因此，由于分部积分，没有弱公式可以预期。在第8节中，存在是在粘度意义上建立起来的。
通用常数和通用常数用C, C表示，它们只依赖于n, s和。
考虑狄利克雷问题
(1.2)
我们研究它的经典解u的正则性，这意味着，其中。
我们的主要结果如下。
(到边界的先验正则性)假设是类的有界域，并求解(1.2)。那么存在这样的条件，对于任何一个都成立。如果任何一
（1）
,;或
（2)
, ，
然后，用
这里C依赖于f的范数。
更高的规律性直至边界保持开放。有两个困难:
这个条件在命题6.1的证明中被关键地使用，其中二次增长(线性的in乘以线性的in)与控制相矛盾。
的作用在单项式上的完整研究是缺失的(引理4.3)。
(存在性)假设是类的有界域，所以它不是整数，。那么存在一个唯一解(1.2)。而且，如果，那么，对于定理1.1确定的一些。
对于屏障(提案3.1)的建造至关重要的是均匀的外部球条件。这是由类的有界域以及它们在边界点周围的膨胀来满足的。
让我们解释一下证明的启发式。根据定义，u在if处
这是由展开式隐含的(见引理C.1)
(1.3)
即u/d为。通过在第3节中建立适当的屏障，我们将能够获得全球H?lder规则(提案5.4)。这允许使用放大参数将问题简化为半平面。
则证明半空间中齐次方程解的Liouville定理(命题6.1)即
增长之下:唯一的解决办法是。由于齐次方程在缩放和切向微分下保持不变，解可以表示为一维(1D)(例如引理6.4)。因此，我们需要证明解是独立于的
其增长速度不超过必须是线性的(引理6.2)。这又由半线的边界规则性(命题4.1)所暗示，即
为了证明这一点，我们简单地证明了边界哈纳克不等式(引理4.7)和振荡的改进(引理4.8)。
非散度形式的非局部椭圆算子的边界Harnack不等式由ros - ton - serra在[12，定理1.2]中证明。Bellido和Ortega[6]考虑了在每个点具有固定视界(相互作用范围)的类似类型的非局部算子。
我们期望本文所介绍的技术能够在抛物型情况下证明类似的结果，并且当它被具有任何齐次核的类似的2s阶积分-微分算子所取代时。
摘要
1 介绍
2 初步结果
3.的障碍
4 一维中的边界Harnack不等式
5 H?lder规则到边界
6 Liouville-type结果
7 证明高正则性
8 粘度溶液的存在性
数据可用性声明
参考文献
致谢
作者信息
附录
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显然满足全局极大值原则。
(全局最大值原则)假设解
(2.1)
要么进去，要么进去。
在任何内部极小值处，，具有严格的不等式，除非在。但是后一个球包含一个收敛到哪里的序列。
经过更仔细的检查，可以得到以下版本的最大原理。研究区域无界时的爆破方程特别有用。
(中程强最大值原则)设一个不一定有界的域。假设G是非空的，有界的，在u中开放的，与G相互作用的定义域为
(2.2)
假设，是的解
然后是G。
如果在G上而不在G上得到，那么在G上根据狄利克雷条件。如果，那么
因此，等式在G中成立。
内部哈纳克不等式为dicastro - kuusii - palatucci所知[2]。
(内哈纳克不等式)如果在(如(2.2)所定义)和
那么对于任意，存在这样的
现在我们陈述由受限分数阶拉普拉斯函数[9,10]的相应结果得出的内估计。我们表示
(2.3)
(内估计)假设不一定有界，且。假设有一个解
对。那么就存在一个常数
此外，如果for和不是整数，则存在这样的条件
在哪里。
我们注意到，因为算子从边界退化，所以估计也是如此(通过项)。
我们把u在u外扩展0，在这个证明中我们这样写。在每一个内部点，我们可以用受限分数阶拉普拉斯式重写方程，即
在哪里
作为归一化常数。我们首先证明(或)正则性。注意for，我们有and, so
先假设一下。由[10，定理1.1(a)]，
当再次使用[10，定理1.1(a)]时，我们相应地用范数替换任意的范数，常数也依赖于。
现在我们证明更高的正则性。直到乘法常数，我们分解到
因为for和，我们使用边界和来控制
对于，我们表示
对于第一行的积分，请注意。根据中值定理，存在这样的
对于第二行，我们注意到只有在对称差中才有非平凡的贡献，对称差位于最阶的宽度环中。更准确地说，我们做到了
因此，使用and，
在哪里。总之,
根据[9，推论2.4]，
我们已经被吸收了。
我们以[10]的精神建造一道屏障。由于相互作用的域因点而异，我们必须在所有点上进行计算。
我们的想法是考虑距离函数的幂到一个从外部接触到区域的球，因为我们希望超级解除了在接触点外是严格正的，无论在边界附近。
(超解)设为类的可能无界域。假设可以被一个半径的外球接触。那么，存在一个常数和一个函数满足
这是外法线at和C只依赖于n s和b。
在平移和旋转后，外球状态为从外部接触。
超级解决方案将由
For和。如[10]所示，在每个点上，我们与一维函数进行比较
在哪里
这些超平面是正交的吗
和分别包含和。
首先我们考虑平面势垒。这就利用了拉普拉斯近似的性质。(注意，这个计算只对点x有效，尽管这是我们所需要的。)
对于和，我们有
这里的常数in只与n和s有关。
使用for，我们有
将变量更改为(回想一下for)并为z选择另一个坐标系，使其与最后一个坐标轴的方向相同，我们有(这里定义在(B.1)中)
(3.1)
根据引理B.1，
根据需要。
接下来我们比较和点。因此，对于每一个固定点，我们表示一个向量在by上的投影
对于和，
对于，我们表示
看到它是非负的。我们提出以下看法:
自从，。
内部不相交的球的半径和最多等于中心之间的距离，给出。这意味着
因此
现在我们可以在边界附近进行局部计算。
让和。然后我们有
(3.2)
和
(3.3)
这里C只依赖于n和s。
我们分手
既然是这样选择的，
那么(3.2)由引理3.2推出。
对于(3.3)，因为它是线性的，所以是调和的，根据引理3.3我们有
我们准备证明提案3.1。
设，其中的选择(利用引理3.4)使得
然后
当x足够接近时。另一方面，我们验证
假设。此外，在哪里，
因此，是理想的超溶液。
凹抛物面作为一个简单的全局超解。选择一个这样的坐标系。就这样吧。考虑正的严格凹函数
当，这被称为扭转函数。
那里拥有
对于任何和，平行四边形定律意味着
因此
通过要求紧包含，我们得到了一个严格的超解。然而，我们不需要这个。
我们对半空间上的一维狄利克雷问题感兴趣。注意，
在本节中，我们假设u是1D(即u只依赖于)。然后
代替……写起来很方便。在本节中，我们将证明以下内容
(一维边界正则性)设为
(4.1)
有这样的存在
这里的C和只依赖于n和s。
请注意，函数x是(4.1)的模型解，实际上是直到一个常数倍的唯一解，我们将在引理6.2中展示。换句话说，任意两个解在边界处以H?lder连续的方式可比较。
缩放性质引理A.4允许我们计算对单项式的作用。
(半线上的单项式)对于任何，
其中，如(B.1)所界定。特别是，和。
当，通过级数展开，
然而，从这个表达式中不清楚a(p)是单调的还是对大p有符号的。
让。将引理A.4应用于和，我们可以看到
通过线性,
因此。
对于在相同长度的相邻区间内具有非负数据的函数，我们将使用以下版本的强极大值原理。
(强最大值原则)假设解
(4.2)
然后要么on(0,1)，要么
这是带有和的命题2.2。
首先，我们用内部哈纳克不等式和比较论证来证明命题4.1。
(双面估计)假设解
那么就存在这样的普遍存在
如果有必要，可以用u/u(1)代替u，我们可以假设。根据引理2.3，存在这样的全称
将引理4.5应用于和on得到结果。
(边界哈纳克不等式
(4.3)
那么就存在这样的普遍存在
(振动的改进)假设解
为，表示
那么就存在一个普遍常数，对于任何，
如果有必要，可以用u/u(1)代替u，我们可以假设。根据引理4.7，我们可以取和。下面我们假设u(x)/x不是常数;否则，我们可以轻率地全盘接受。
假设是已知的，这样
通过引理A.4，两个函数和在(0,2)上都是-调和且非负的。当它们解出(4.2)强极大原理引理4.5时，它们在(0,1)上是严格正的。这意味着
类似地，函数和解(4.3)，因此引理4.7暗示
重新缩放并乘以归一化因子，我们有
这意味着
把这两个不等式相加，
因此
现在，标准迭代产生了H?lder商的连续性。
如果有必要，可以用u/u(1)代替u，我们假设。根据引理2.4，我们知道对于某些和对于。修复。让。写。如果，那么根据引理2.4，
如果，然后，通过迭代引理4.8，我们有
因此,
根据需要。
利用全局极大值原理，得到了一个直接的点向界，有利于控制内部行为。
(内部控制)让我们解决
然后
使用引理2.1 on，引理3.5给出。
现在我们可以用距离函数来控制解。
(全局边界哈纳克原理)假设求解
那么存在一个普适常数C，使得
由于是类的有界域，因此在每一点上都存在半径为b的外切球。根据命题3.1，在一个合适的坐标系中存在这样的
自
命题2.2适用，我们有
因为从边界处线性增长，我们有
内部估计简单地遵循引理5.1。
我们在半球中提出了一个局部模拟，其中。
(局部边界哈纳克原理)假设求解
然后
这里C只依赖于n和s。
让。根据命题3.1，有一个普遍性，这样
根据提案2.2，
对于我们选择得到的每一个
为C通用。将其与平凡估计相结合得到结果
如上所述，我们给出了一个全局结果和一个局部结果。实际上，该算子的内阶为2s，满足经典的Hopf边界引理。因此，两者的最小值产生组合的规律性。这种效应与谱分数拉普拉斯式类似。
(全局边界规则)假设求解
那么对于任意，存在一个常数，使得
如果有必要，我们可以用引理5.2，
(5.1)
让
我们需要证明这一点
如果有必要，通过交换x和y来写。
案例1:
． 然后。通过引理A.3和引理A.4，重新缩放的函数满足
(5.2)
利用内部估计引理2.4，我们有
鉴于(5.1)，我们认为
我们的结论是
案例2:
． 然后
(局部边界规则)假设求解
那么对于任意，存在一个常数，使得
如果有必要，我们假设。让
我们需要证明这一点
不失一般性的让。根据引理5.3，我们有
(5.3)
情况1:。然后。在命题5.4的证明中，重标后的函数满足方程(注)
由(5.3),
从引理2.4我们得到了估计
因此，通过(5.3)，
案例2:。然后到(5.3)，
在本节中，我们对半空间中齐次狄利克雷问题的解进行了分类。我们写信。
(刘维尔式结果)设v为
(6.1)
哪个满足生长条件
(6.2)
在提案4.1中给出的。那么v是一维线性的，即。
对于某个常数。
(1D中的刘维尔)它解决了
满足生长条件
其中与在提案4.1中给出。然后
对一些人来说。
让
哪个满足生长条件
特别是,
应用命题4.1，我们看到
作为。因此是一个常数。
(缓慢增长的解消失)假设v与
在哪里
(6.3)
然后。
重新缩放后的函数满足式(6.1)和生长条件
根据提案5.5，
作为。因此,。
(轻度生长的解为1D)设v满足式(6.1)和生长条件
如(6.3)所述，并载于命题4.1。那么v是一维的，即。
对一些人来说。
让和。写
满足(6.1)和增长条件(通过引理6.3中的重新缩放)
因为，引理6.3暗示。然后对于任意，，。由于是任意的，v只依赖于。根据引理6.2，对一些人来说。
我们将在k中用归纳法证明如下命题:如果v满足(6.1)和生长条件
(6.4)
然后v是一维线性的。
根据引理6.4，这对。假设对k和v成立是(6.1)的解满足
通过重标度论证和边界正则性(如引理6.4)，H?lder差商满足(6.1)和(6.4)。因此，存在这样的
(6.5)
通过迭代(6.5)for，我们得到
对任何人来说。但是对于(6.4)(回想一下)我们有
与(6.4)相矛盾。鉴于(6.5)，v只依赖于引理6.2，其结果由引理6.2得出。
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